Question

已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.

（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求的最大值.

Answer

（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时可求,当时,,从而可知数列是首项为,公差为的等差数列,从而可求得通项公式；（2）由（1）,而,可求得,利用等差数列求和公式即可求得,进而求得最大值.

试题解析：【解析】
（1）当时，，∴

当时，，即

∴，∴，∴

∴，所以是等差数列，

（2），，∵，∴是等差数列

∴，当时，

考点：定义证明等差数列及数列求通项,求和.

【思路点晴】本题考查数列的求和,着重考查等差数列关系的确定及其通项公式和求和公式的应用,考查推理与运算能力,属于中档题目.第一问将已知的关于和与项的关系变形,然后仿写一个新的等式,将两个式子相减得到项的关系,利用等差数列的定义证明；第二问求出数列的通项公式进而求出求和公式,转化为二次函数求最值问题,注意的取值范围为正整数.