Question

设，数列满足：，.

（1）求证：数列是等比数列（要指出首项与公比）；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用,构造数列,通过等比数列的定义,证明数列是等比数列；（2）利用（1）求出的通项公式,通过,推出的递推关系式,利用累加法求出数列的通项公式；（3）错位相减法数列求和.

试题解析：【解析】
（1），∴，又

∴数列是首项为4，公比为2的等比数列.

（2），∵，∴.

令，叠加得：

∴.

（3）令，则，令前项和为，

∴

∴，

∴

∴.

考点：定义证明等比数列以及数列的求和.

【思路点晴】本题考查学生的是等比数列的定义以及用错位相减法求和,属于中档题目.第一问要证明数列是等比数列,只需证明为非零常数,且,结合已知只需将变形代入即可；第二问先由第一问的结论求出的通项公式,进而可求得的通项公式,应用累加法和等比数列的前项和公式可求得.