Question

已知集合，其中.

（1）1是中的一个元素，用列举法表示；

（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；

（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围.

Answer

（1）；（2） ；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）由是的元素，可得，解得即可求出的元素；（2）分和两种情况讨论集合中的解的个数；（3）集合中至多有一个元素，即集合中方程的解的个数是个或个，分两种情况考虑.

试题解析：

（1）∵是的元素，∴是方程的一个根，

∴，即，

此时.

∴，，∴此时集合；

（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，

若，则当且仅当方程的判别式，即时，

方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，

∴所求集合；

（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况：

①中有且只有一个元素，由（2）知此时，或；

②中一个元素也没有，即，此时，且，∴.

综合①、②知所求的取值范围是或.

考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示.

【易错点睛】本题集合中方程二次项系数含有参数，未必是是一元二次方程，学生易忽视，而直接按照一元二次方程求解会导致错误，而应先对二次项系数分类讨论求解，当时，直接求解验证，当时，再利用一元二次不等式的判别式，解得即可.本题考查集合的表示方法、元素与集合的关系，考查分类讨论思想，对参数进行讨论是解答本题的关键，属于基础题.