Question

已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若，，时，有成立．

（1）判断在[-1,1]上的单调性，并证明；

（2）解不等式；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）任取，且则，由奇函数的定义将进行转化，利用所给条件，判断出即可；（2）根据（1）的结论和增函数的定义，以及函数的定义域，列出不等式组求出的范围；（3）根据（1）的结论，将问题转化为恒成立，再构造函数，即对恒成立，求出的取值范围，需对进行分类讨论，即可确定实数的取值范围.

试题解析：（1）任取，且，则

是奇函数，

由已知得，又<0

，即

在上单调递增.

（2）在上单调递增，所以有，解得

故原不等式的解集为

（3）在上单调递增，且，

在上，

恒成立可转化为恒成立，

即对恒成立．

设

1）若，则，对恒成立；

2）若，则为关于的一次函数，若对恒成立，

必须且，解得或．

综上所述，实数的取值范围是.

考点：函数的恒成立问题；函数的单调性的应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，函数的单调性判定及应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性求解函数的解析式、函数的单调性的判定、抽象函数的性质、恒成立问题的转化及求解，解答的关键在于把恒成立，转化为恒成立，构造新函数，利用新函数的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题.