Question

设函数，为常数.

（1）用表示的最小值，求的解析式；

（2）在（1）中，是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若成立，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）的最小值为.

【解析】

试题分析：(1)利用函数的对称轴,讨论的范围,求出二次函数的最小值,求的解析式；(2)判断存在,利用的单调性,求出的最小值,然后求解的值.

试题解析：（1）对称轴

①当时，在上是增函数，当时，有最小值；

②当时，在上是减函数，时，有最小值；

③当时，在上不单调，时有最小值；

（2）存在，由题知在是增函数，在是减函数

时，

恒成立，.

为整数，的最小值为.

考点：函数的单调性；恒成立问题.

【方法点晴】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）.找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.