Question

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直,.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出;若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）点满足时，有.

【解析】

试题分析：（1）先证明两两垂直，通过建立适当的坐标系，向量法求解；（2）通过线的方向向量和平面的法向量垂直证明.

试题解析：取的中点，连，则，因为平面,且,平面,所以,所以,由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，

所以，所以，平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.

存在点 ,且时， 有.证明如下：假设上存在点，使得

平面,

连接交于点，连接,则,所以, 由,得，

其他证明方法：由，所以，设平面的一个法向量为，则有，所以，取得，，

因为，且，所以.即点满足时，有.

考点：直线与平面平行，直线与平面所成的角.