Question

已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.

（1）证明函数是奇函数；

（2）讨论函数在区间上的单调性.

Answer

（1）证明见解析；（2）是在上为单调递增函数.

【解析】

试题分析：（1）取即可求得的值；令，易得，从而可判断其奇偶性；（2）在上任取，并且，作差后判断其符号即可证得为上的增函数；

试题解析：（1）因为有，

令，得.

令可得：，所以，所以为奇函数.

（2）是定义在上的奇函数，由题意设，

.由题意时，有，，

是在上为单调递增函数.

考点：抽象函数及其应用，以及函数奇偶性和单调性的判断.

【方法点晴】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.