Question

如图，ABC﹣A₁B₁C₁是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．

（Ⅰ）证明：PQ∥A₁B₁；

（Ⅱ）当时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体CABF的体积．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）正投影见解析，.

【解析】

试题分析：(I)由正三棱柱的性质可以知道,上下两个底面平行,由两个平面平行的性质定理可得,由此能证明；(II) 当时，分别是的中点, 在等腰梯形中，，平面，即,所以点是在平面内的正投影，即得.

试题解析：（I）∵平面平面，平面平面，平面平面，，，又．

（Ⅱ）点是中点，理由如下：

当时，分别是的中点，连接和, 因为

是正三棱柱，所以,

取中点，连接在等腰梯形中，，

连接中，,

平面ABF，即,

所以点是在平面内的正投影。

考点：正三棱柱的性质；点到面的距离.