Question

已知椭圆C的左、右焦点分别为、，且经过点

（I）求椭圆C的方程：

（II）直线y=kx（kR，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．

Answer

（I）；（II）的面积取最小值．直线的方程为.

【解析】

试题分析：（I）根据题意，，求出，即可求出椭圆的方程；（II）直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理可得，进而表示出，利用基本不等式，即可得出结论．

试题解析：（I）由题意，，，

∴椭圆的方程：

（II）在的垂直平分线上，： ．

由，可得

同理可得，

则．

由于，

所以，当且仅当，

即时取等号的面积取最小值．直线的方程为．

考点：椭圆的基本性质.

【方法点睛】由，可以知道在的垂直平分线上，所以可以设出为：，进而通过直线与椭圆联立可得出的长度，在联立的过程中可以只联立计算，而只需要将中的换成即可，求三角形面积时用到了一次转化，，这样就可以简化运算，进而得到，利用均值不等式即可解决.