Question

已知有穷数列：，，，……，的各项均为正数，且满足条件：

①；②.

（1）若，，求出这个数列；

（2）若，求的所有取值的集合；

（3）若是偶数，求的最大值（用表示）.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据通项公式求具体的项；（2）根据题意分类讨论，列出所有可能的情况建立关于的方程；（3）假设从到恰用了次递推关系，根据的奇偶性分类讨论.

试题解析：

解：由①知；由②知，，整理得解得，或，当时，不满足舍去；∴这个数列为；

若，由①知，∵

，如果由计算没有用到或者恰用了次，显然不满足条件；∴由计算只能恰好次或者次用到，共有下面4种情况：

， ，，则，解得；

若，，，则，解得；

若，，，则，解得；

若，，，则，解得；

综上，的所有取值的集合为；

依题意，设，由知，，假设从到恰用了次递推关系，用了次递推关系，则有其中,

当是偶数时，，无正数解，不满足条件；

当是奇数时，由得，

，又当时，若，，

有，，即∴的最大值是，即.

考点：数列的综合运用.