Question

已知函数，，且函数与的图象在处的切线相同.

（1）求的值；

（2）令，若函数存在3个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）4（2）

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义得，分别求导得，，即得（2）先分析函数图像特点：函数在单调递减；在单调递增；在单调递减；在单调递增；在单调递减且趋近于轴. 所以要使函数存在3个零点，结合图像得实数的取值范围.

试题解析：（1） 已知

，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，

所以. （4分）

（2）由（1）可知，即

当时，，，可得函数在处取得极大值，

当时，图像趋近于轴.

函数的大致图像如图所示，

可知函数存在3个零点时，

的取值范围是

考点：导数几何意义，利用导数研究函数图像

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.