Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.

（1）证明：；

（2）若，求圆的半径.

Answer

（1）详见解析（2）3

【解析】

试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似：由弦切角定理得，再由=，可得，可得 ，（2）先由得，再由直角三角形得，解得AB=8，即得

试题解析：（1） 由已知连接，因为

且公用，所以即

因为 ，所以

因为，所以，即

，则，故，

所以半径是.

考点：三角形相似

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．