Question

已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆离心率可知，点在椭圆上，将代入椭圆方程，再结合，即可求出椭圆的标准方程；（2）当直线斜率存在时利用解的性质可以得，，，可以确定当为定值时，，当直线斜率不存在时，确定直线方程，进行判断，即可得到圆的方程.

试题解析：（1）【解析】
由题意，得，又因为点在椭圆上，所以

， 解得， 所以椭圆的方程为.

（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为.证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组 得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即.

由方程组 得，

则.

设，则，

设直线 的斜率分别为，所以.

，

将代入上式，得.

要使得为定值，则，即，验证符合题意.

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值.

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足.

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.

考点：椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.

【方法点晴】直线和位置关系的考题中，常用的方法就是“设而不求”，在本题中，设出，根据信息，分析出坐标的方程即得：，进而就可以通过设直线与曲线联立，由韦达定理得出根与系数的关系，当直线斜率存在时利用解的性质可以得，，，可以确定当为定值时，，当直线斜率不存在时，确定直线方程，进行判断，即可得到圆的方程.