Question

已知函数，函数，其中.

（1）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；

（2）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）和在处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解的值，以及切线的方程；（2）设函数，则将原问题转化为有有唯一解，然后对进行分类讨论即可.

试题解析：（1）【解析】
求导，得.

由题意，得切线的斜率，即，解得.

又切点坐标为，所以切线的方程为.

（2）【解析】
设函数.

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一

个零点”. 求导，得.

① 当时，

由，得，所以在单调递增.

又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意.

②当时，

当变化时，与的变化情况如下表所示：

0

↘

↗

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

故有且仅有一个零点，符合题意.

③ 当时，

令，解得.

当变化时，与的变化情况如下表所示：

-

0

↘

↗

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，.

因为，且在上单调递增，

所以.

又因为存在 ，

所以存在使得，

所以函数存在两个零点，，与题意不符.

综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是.

考点：导数的应用.

【方法点晴】方程的根，函数的零点，图象与轴的交点属于一类问题，常用的方法有三个：构造函数法，这种方法往往需要讨论参数，进而研究函数的零点个数，上述解法就属于这一种，还有一种比较简单的就是参变分离法，等价于，这种方法需要注意，讨论时的情况，问题就转成立研究的图像，优点就是研究的函数没有参数；最后一种，有时零点问题也可以转成两个函数图象的交点问题，小题用此法比较多.