Question

已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）利用赋值法先求出，然后令，可得与的关系，从而判定函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先在定义域上任取零点，并规定大小，然后判断函数的大小，从而确定函数的单调性；（3）关于恒成立的问题常常进行转化，若，对所有，恒成立，可转化成恒成立，然后将其看出关于的函数，即可求解.

试题解析：（1）因为有，

令，得，所以，

令可得：，所以，所以为奇函数.

（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，

则，

由题意时，有，∴，∴是在上为单调递增函数；

（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，

所以要使，对所有，恒成立，

只要，即恒成立.

令，得，

∴或.

考点：抽象函数及其应用.

【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的图象与性质的应用，其中解答中涉及到抽象函数的奇偶性和函数的单调性，以及函数的恒成立问题的运用，着重考查了转化思想，学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题设条件，利用单调性和奇偶性的定义是解答关键.