Question

已知函数对一切实数都有成立，且.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）设当时，不等式恒成立；当时，是单调函数.若至少有一个成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）令，，则由已知，即可求解的值；（2）令，则，再由，即可求解函数的解析式；（3）由不等式，得到，根据二次函数的性质，即可得到集合，又由在上是单调函数，列出不等式，得到集合，即可得到结论.

试题解析：（1）令，，

则由已知，

有

（2）令，则，

又∵，

∴

（3）不等式，

即，

即.

当时，，

又恒成立，

故

，

又在上是单调函数，

故有，或，

∴或

∴至少有一个成立时的取值范围或

考点：函数性质的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到函数值的求解、函数赋值法的应用，函数单调性的判定与应用，函数解析式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数的性质合理赋值、正确列出和求解不等式是解答关键，属于中档试题.