Question

以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与共有个交点，且这个交点恰好把圆周六等分.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相切，且椭圆相交于两点，求的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，，从而得到的值，由此能求出椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程可求出，当当直线的斜率存在时，可设直线的方程，利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出的最大值.

试题解析：（1）如图，依题意，, 因为,所以, 得，故椭圆的方程为 .

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，此时.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为, 因为直线与相切，所以，即, 由消去，整理得,

, 由，得，设，则,

所以，所以

, 当且仅当, 即时，取得最大值.综上所述，最大值为.

考点：1.椭圆的简单性质；2.直线与椭圆的综合；3.基本不等式.

【方法点睛】本题主要考查的是圆的方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，函数与方程思想，分类与整合思想，属于中档题，解决本题的最重要的思想就是数形结合思想，通过图形分析出其满足的几何关系，再通过韦达定理进行计算，即可求解，因此正确的利用圆的性质，椭圆的性质是解决问题的关键.