Question

已知函数.

（1）若函数的最小值为，求的值；

（2）证明:.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，的最小值问题，需要借助于导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量；（2）借助第一问，将问题转化成最常见的形式：.

试题解析：（1）的定义域为，且 .若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意，若，则当时，;当时，.故在上单调递减，在上单调递增.于是当时，取得最小值.由已知得, 解得.综上，.

（2）①下面先证当时，.因为, 所以只要证.由（1）可知, 于是只要证，即只要证, 令，则,当时，, 所以在单调递增，所以当时，，即，故当时，不等式成立 .② 当时，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因为, 所以,所以

,综上，不等式

成立.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查的是函数最值问题，需要借助导数确定极值，然后与端点值对比确定出最值，第二问考查的是常见形式的运用，需要熟记，属于难题，本题第一问属于基础题，较简单，但对第二问有很大的影响，第一问的结论第二问是需要用到，主要求出导数的零点进行讨论得到不等式恒成立，然后再对不等式进行合理变形即可求解，此题主要是对导数研究函数的单调性的应用，合理变形是解决此类问题的关键.