Question

已知函数  .

（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，求出切线方程得斜率，再求出该点的函数值，利用点斜式求解；（Ⅱ）利用导函数的正负判断原函数的单调性，再分类讨论；（Ⅲ）从函数在上有两个极值点，表示，得到新的函数，再求最值.

试题解析：（I）当时，

则

所以切线方程为，

即为

（Ⅱ）

令

当即时，，函数在上单调递增；

（2）当且，即时，由，得，

由，得或；

由，得.

综上，当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间是，；

单调递减区间是

（Ⅲ）函数在上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，

由则，，，

由，可得，，

令，

由，则，，

又，则，即在递减，

即有，即，

即有实数的取值范围为.

考点：利用导数研究函数的极值与最值.

【方法点晴】本题考查的是函数导数的综合应用，第一问是求在某点处的切线，关键是求得确定直线的切线斜率和该切点的坐标，利用点斜式求解，第二问讨论函数的单调性，关键是对二次函数进行讨论，先从判别式入手，第二层再从根的情况入手（要注意方程的根和定义域区间端点进行比较），从而得到导数的正负，得到原函数的增减，第三问是多元化最值，关键是把三个量都用一个量表示 ，得到新函数，再求值域即可.