Question

已知函数．

（I）若曲线在处的切线与轴垂直，求函数的极值；

（II）设，若在上单调递减，求实数的取值范围．

Answer

（I）极大值为，极小值为；（II）．

【解析】

试题分析：（I）求导得，再利用导数工具求得极值；（II）由，命题转化为在上恒成立即在上恒成立， 令再利用导数工具求得．

试题解析： （I）由可得，

由题意知，解得，

所以，

．

当时，得或；

当时，得．

所以的单调递增区间为,单调递减区间为，

所以的极大值为，

极小值为.

（II）由可得，

由在上单调递减可得在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

所以在上单调递增.

故，

所以，即实数的取值范围是

考点：1、导数的几何意义；2、函数的极值；3、函数的单调性；4、函数与不等式．

【方法点晴】本题考查导数的几何意义、函数的极值、函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.