Question

已知函数.

（1）求函数的极值点；

（2）若函数在区间[2,6]内有极值，求的取值范围.

Answer

（1）当时，在上单调递增，无极值点，当时，的极大值点为极小值点为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）令，根据二次函数的性质对进行讨论，判断的解的情况做出结论； （2）根据（1）的结论得出不等式组，解出的范围.

试题解析：（1）因为，所以的定义域为，

,

令，即，则,

①若，即时，，且时仅有一根,

所以当时，在上单调递增，无极值点

②若，即或时，方程的解为，.

（ⅰ）当时，.

所以f（x）的单调递增区间为和，

单调递减区间为

所以的极大值点为，的极小值点为.

（ⅱ）当时，，,

所以当时，在上单调递增，无极值点.

综上，当时，在上单调递增，无极值点；

当时，的极大值点为，f（x）的极小值点为

（2）因为函数在区间内有极值，

所以在区间内有解，所以在区间内有解，

所以在区间内有解

设，对，，且仅有

所以在内单调递增.所以

故的取值范围为

考点：利用导数研究函数的极值.

【思路点晴】本题考查的是函数的极值问题.求可导函数的极值的步骤: （1）确定函数的定义区间，求导数；（2）求方程的根；（3）用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.