Question

已知函数,.

（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；

（2）若在有两个零点，求的取值范围；

（3）当时，证明：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据导数的意义和已知条件求出的值；（2）将原方程有两根转为两图象与函数有两个交点；（3）将要证明的不等式等价于证明，然后利用函数的单调性来进行证明.

试题解析：（1）【解析】
因为，所以.

因为曲线在点处的切线斜率为，所以，

解得

（2）【解析】
原题等价于方程在有两个不同根.

转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点.

又，即时，，时，，

所以在上单调增，在上单调减.从而

又有且只有一个零点是，且在时，，在在时，，

可见，要想函数与函数的图像在上有两个不同交点，

所以

（3）证明：因为,，

当时，要证，只需证明

设，则在上单调递增，

，，在上有唯一零点上

，

因为，所以即.

当时，；当时，，

所以当时，取得最小值.

所以.

综上可知，当时，

考点：导数的概念及其几何意义，利用导数证明不等式.

【思路点晴】本题考查的是导数的综合应用.第一问涉及导数的切线问题，根据导数的意义和已知条件列式求出的值；第二问采用变量分离将方程有两根的问题转化为两图象有交点，从而把含参数函数的问题转化为确定的函数在确定区间上的图象问题，第三问的关键是把的证明转化为只需证明.