Question

已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²－2t）＋f（2t²－k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）2,1（2）k＜－

【解析】

试题分析：（1）由函数为奇函数，可利用代入求解a，b的值；（2）由奇函数可将不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0变形为f（t2－2t）＜＝f（k－2t2），借助于函数单调性可得到k的不等式，求解其取值范围

试题解析：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（0）＝0，

即＝0⇒b＝1，

所以f（x）＝，

又由f（1）＝－f（－1）

知＝－⇒a＝2.

（2）由（1）知f（x）＝＝－＋，

易知f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数．

又因f（x）是奇函数，从而不等式：

f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0等价于f（t2－2t）＜－f（2t2－k）＝f（k－2t2），

因f（x）为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2，

即对t∈R有：

3t2－2t－k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0⇒k＜－.

考点：函数奇偶性单调性