Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－ （1＋k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer

（1）10 （2） 当a不超过6（千米）时，可击中目标

【解析】

试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解

试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，

由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，

故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．

（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标

⇔存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立

⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0

⇔a≤6.

所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．

考点：函数模型的选择与应用