Question

设函数f（x）＝ka^x－a^－x（a>0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

（1）若f（1）>0，试求不等式f（x²＋2x）＋f（x－4）>0的解集；

（2）若f（1）＝，且g（x）＝a^2x＋a^－2x－4f（x），求g（x）在[1，＋∞）上的最小值．

Answer

（1） {x|x>1或x<－4} （2）－2

【解析】

试题分析：（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，（2）（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为，从而可求不等式的解集；（3）根据，确定a=2的值，从而可得函数g（x）＝22x＋2－2x－4（2x－2－x）＝

（2x－2－x）2－4（2x－2－x）＋2．令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知f（x）=2x-2-x为增函数，可得t≥f（1）=，令h（t）=t2-4t+2（t≥），运用二次函数的最值的求法，即可得到最小值

试题解析：∵f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.

（1）∵f（1）>0，∴a－>0.

又a>0且a≠1，∴a>1.

∵k＝1，∴f（x）＝ax－a－x.

当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，

∴f（x）在R上为增函数．

原不等式可化为f （x2＋2x）>f（4－x），

∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0.

∴x>1或x<－4.

∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．

（2）∵f（1）＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.

∴a＝2或a＝－ （舍去）．

∴g（x）＝22x＋2－2x－4（2x－2－x）＝（2x－2－x）2－4（2x－2－x）＋2.

令t＝h（x）＝2x－2－x（x≥1），

则g（t）＝t2－4t＋2.

∵t＝h（x）在[1，＋∞）上为增函数（由（1）可知），

∴h（x）≥h（1）＝，即t≥.

∵g（t）＝t2－4t＋2＝（t－2）2－2，t∈[，＋∞），

∴当t＝2时，g（t）取得最小值－2，即g（x）取得最小值－2，此时x＝log2（1＋）．

故当x＝log2（1＋）时，g（x）有最小值－2.

考点：函数的最值及其几何意义