Question

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.该公司第年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图 .

（1）求；

（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由图可知，每年费用是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2）设纯收入与年数的关系为，则：，由解得，点的最小值为；（3）年平均收入为，当且仅当即时等号成立.

试题解析：

（1）由题意知，每年费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

（2）设纯收入与年数的关系为，则：

由各，解得

又因为，所以，即从第2年该公司开始获利

（3）年平均收入为

当且仅当时，年平均收益最大，

所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大

考点：数列应用问题.

【方法点晴】对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.与数列综合的题，要注意为整数的易错点.