Question

已知.

（1）当，时有最小值为2，求的值；

（2）当，时，有恒成立，求实数的取值范围.

（备注：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增）

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）化简，时，，舍去；当时，，，符合题意；（2）原不等式分离参数得，利用配方法求得的最大值为，所以.

试题解析：(1)

设

由于单调递增，上是增函数，

综上

(2)当时，恒成立

即时恒成立

即时恒成立

设

实数的取值范围是

考点：函数的单调性与最值，恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查函数的单调性，考查函数值域的求法，考查恒成立问题分离参数法.第一问的已知条件是最小值，而函数表达式中含有对数，且对数的底数范围是不知道的，所以我们要对底数进行分类讨论.第二问是恒成立问题，首先化简，将参数分离出来，观察发现右边函数表达式类似二次函数，就用二次函数配方法结合对称轴来求最值.