Question

今年入秋以来, 某市多有雾霾天气, 空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻(时)的函数关系为:,其中为空气治理调节参数，且.

（1）若,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

（2）規定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过,则调节参数应控制在什么范围内？

Answer

（1）点；（2）.

【解析】

试题分析：（1）时，，此时，故点时空气污染指数最低；（2）设，换元后设，即，根据的单调性求得的最大值，由此求得调节参数应控制在内.

试题解析：

（1） 因为,则.当时，,得，即.所以一天中晩上点该市的空气污染指数最低.

（2）设，则当时，.设,则,显然在上是减函数，在上是增函数，则,因为,由,得.

所以, 当时，,符合要求; 当时，由

, 得.故调节参数应控制在内.

考点：函数应用问题.

【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型.②对涉及的相关公式，记忆错误.③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解.含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.