Question

已知函数.

（1）当时，确定函数在上的单调性；

（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，计算，所以函数为减函数；（2）当时，的值域是.当时，设函数的值域为，据题意，.对分成三类，利用单调性求得的取值范围.

试题解析：

（1）当时，.设,

则.

因为,则, 得, 即.又, 则, 即,所以在上是减函数.

（2）当时，, 则, 所以的值域是.当时，设函数的值域为.据题意，.①当时，, 不合题意.②当时，在上是增函数，则, 即 ,解得.

③当时，在上是减函数，则，即, 解得.

综上，的取值范围是.

考点：函数的单调性与恒成立问题.

【方法点晴】增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.证明过程中，要熟练的因式分解.恒成立问题，存在性问题转化为子集来求解.