Question

已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）当时判断函数的单调性，并证明；

（3）解不等式.

Answer

（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由于函数为奇函数，故.另外根据，解得，所以；（2）在定义域内任取两点，计算，故函数为定义域上的增函数；（3）由（2）得且，所以解集为.

试题解析：

（1）由题意可知，

∴，

∴，∴.

又，∴，

∴.

（2）当时，函数是单调递增的.

证明如下：设任意的，

则.

，

∴.

又，

∴，

即，∴函数为增函数.

（3），

∴.

又是定义在上的奇函数，

∴，

∴∴，

∴不等式的解集为.

考点：函数的单调性与解不等式.

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性.第一问根据奇偶性来待定系数，函数为奇函数，如果函数在有定义，则有，如果函数是偶函数，则没有这个性质.第一问是利用定义法来判断函数的单调性，方法是任取定义域内两个不同的数，然后比较对应函数值的大小，即可判断函数的单调性，一般利用差比较法来确定.