Question

定义在上的函数，满足当时，，且对任意的，有，.

（1）求的值；

（2）求证：对任意，都有；

（3）解不等式.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用赋值法，令，得，解得；（2）先证明，然后利用反证法，先假设存在，使，则对任意，有.这与已知时，矛盾，所以假设不成，；（3）任取，且，证明，所以函数为增函数.而，故.

试题解析：

对任意，

.

令，得，

即.

令，得，对任意成立，

所以，因此.

（2）证明：对任意，

有.

假设存在，使，

则对任意，有.

这与已知时，矛盾.

所以，对任意，均有成立.

（3）令有

，

所以.

任取，且，

则.

，∴,

由已知，

∴.

由（2）知，.

所以，

即.

故函数在上是增函数.

由，得，

即.

解得.

考点：抽象函数，函数的奇偶性，函数的单调性.

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的性质，考查抽象函数奇偶性和单调性的证明.求主要采用的是赋值法，利用抽象函数的表达式的对称性，可求得这几个数值.要证明抽象函数大于零，分成两个步骤，第一步先证明，然后利用反证法证明.第三问要解不等式，先利用定义法证明函数为增函数，由此求得的取值范围.