Question

已知过点的直线与椭圆交于两点.

（1）若直线的斜率为，求的取值范围；

（2）若以为直径的圆经过点，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由题意设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程后由判别式大于求得的取值范围；（2）设出的坐标，利用根与系数的关系得到的横坐标的和与积，结合以为直径的圆经过点，由求得值，则直线方程可求.

试题解析：（1）依题意，直线的方程为，由,消去得,令,解得或,所以 的取值范围是.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为,则,此时以为直径的圆过点，满足题意.直线的斜率存在时，设直线的方程为,又,所以.由（1）知，,所以

.

因为以直径的圆过点，所以，即，解得，满足.

故直线的方程为.综上，所求直线的方程为或.

考点：1.直线与椭圆的综合问题；2.韦达定理.

【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了设而不求的解题思想方法，是中档题，本题（1）问主要是联立直线与椭圆方程，化成一元二次方程的判别式大于求出的取值范围，（2）利用求出值，进而求出直线方程,因此解决直线与圆锥曲线位置关系时应该熟练运用韦达定理解题.