Question

已知函数.

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，利用导数判断在上单调递增，从而求出的最小值；（2）讨论以及时，对应函数的单调性，求出满足时的取值范围.

试题解析：（1）因为, 所以,令,则,所以当时，,故在上单调递增，所以当时，，即，所以在上单调递增，故当时，取得最小值.

（2）①当时，对于任意的，恒有，又由（1）得，故恒成立.②当时，令，则，由（1）知在上单调递增 所以在上单调递增，又，取，由（1）得，

，所以函数存在唯一的零点，当时，在上单调递减 ，所以当时，，即，不符合题意.综上，的取值范围为.

考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性.

【方法点睛】本题主要考查的是利用导数求函数的最值及其综合应用，不等式应用问题，考查了分类讨论思想，属于中档题，解决本题（1）问利用导数求函数的单调区间，（2）问需要分类讨论的大小，或者根据不等式的特点构造函数，再利用导数判断函数的单调性是否存在零点，从而求出满足时的取值范围，因此正确构造函数或者正确选择分类标准是解题的关键.