Question

设函数f(x)=ax²-a-lnx，其中a∈R.

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当时，恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).

Answer

（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）.

【解析】

试题分析：（I）求出函数的导函数，分和两种情况，判断在上的符号变化情况，得到其单调性；（II）令，只需在上恒大于即可，又，故在处必大于等于.构造函数，由可得，对函数求导，判断其符号得其单调性，求出其值域，可得到函数单调性递增，所以.

试题解析：（I）由题意得：

当时，上单调递减.

当时，，当时，，

当时，故在上单调递减，在上单调递增.

（II）原不等式等价于在上恒成立，

一方面，令

只需在上恒大于0即可，

又，故在处必大于等于0.

令可得.

另一方面，当时，

又，，，故在时恒大于0，

当时，在单调递增.

故也在单调递增.

即在上恒大于0..

综上，.

考点：利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立，考查了分类讨论和转化与化归的数学思想方法，考查了考生分析问题和处理问题的能力，属于难题.解答本题时，最常见的错误是部分考生忽略了函数的定义域，应该牢固把握研究函数定义域优先的选择；解答的难点是第二问构造新函数转化后，导函数的零点不能直接求出，再次构造新函数，二次求导判断导函数的符号，充分体现了导数在研究函数单调性中的工具作用.