Question

如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点.

 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求面与面所成角的大小.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直往往需结合平几知识进行寻找与论证：由等腰三角形性质得 ，利用勾股定理计算得 ，最后结合线面垂直判定定理可得结论（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解

试题解析：（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则

∵，，，∴四边形为正方形，

∵为的中点，∴为的交点，

∵， ，

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，

∵，∴平面；

（Ⅱ） 设平面的法向量为，，

则，即，解得，

设平面的法向量为，，

， 可得，

则，面与面所成角的大小 （12分）

考点：线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.