Question

如图，四棱锥的底面为矩形，底面，分别为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

Answer

（1）（2）均见解析.

【解析】

试题分析：（1）欲证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，记中点为，连接，通过构造平行四边形，证之即可；（2）欲证，只要证平面即可，由已知可知，，在平面内，通过三角形相似证即可证明平面.

试题解析： （1）记中点为，连接，∴分别为的中点，

∴，∵，，∴，，由此可得，四边形为矩形，∴.

又∵平面且平面，所以平面.

（2）∵底面，底面，∴，设，由此可知，所以在与中，，∴∽，∴，又∵，∴，由此可得，又∵，∴平面，∴.

考点：1.线面平行的性质与判定；2.线面垂直的性质与判定.

【名师点睛】本题考查线面平行的性质与判定、线面垂直的性质与判定以及空间想象能力、逻辑思维能力，属中档题；空间判定线面平行的方法有：1.利用定义，即证明直线和平面无公共点；2.利用线面平行的判定理；3.利用面面平行的性质，即若两个平面平行，一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；

4.利用面面平行的性质定理；5.利用线面垂直的性质定理.