Question

已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围.

（3）设函数有两个极值点，且，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1） 的单调增区间为，；单调减区间为；

（2）；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，分别解不等式与可得函数的单调递增区间与递减区间；

（2）在上单调递增，由在恒成立，求的范围即可；（3）由是方程可得，，用表示得，令，则，构造函数（），求的导数，研究其单调性得在上单减，∴，可求得.

试题解析： （1） ，

令，∴或，∴的单调增区间为，；单调减区间为.

（2） 即，所以，令，∴在上单调递增，∴，∴对恒成立，∴，∴对恒成立，又∵，当时取等号，∴，故.

（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，

所以有，，

∴

令，则，设（），

∴，

∴在上单减，∴，故.

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.