Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值及最小值.

Answer

（Ⅰ），.（Ⅱ）当时，取得最小值；

当时，取得最大值1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；

当时，取得最大值1.

试题解析：（Ⅰ）

. ……………………………………3分

由，，得，.

即的单调递减区间为，.……………………6分

（Ⅱ）由得， ………………………………8分

所以. …………………………………………10分

所以当时，取得最小值；

当时，取得最大值1. ………………………………13分

考点：三角函数性质

【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。