Question

已知函数，.

（1）若函数有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）对于函数，，，若对于区间上的任意一个，都有，则称函数是函数，在区间上的一个“分界函数”.已知，，问是否存在实数，使得函数是函数，在区间上的一个“分界函数”？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数导数：，再根据函数有且只有一个极值点，得在区间上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得，解得实数的取值范围是；（Ⅱ）由题意得当时，恒成立，

且恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题：记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最大值：当时， 单调递减，最大值为，由，解得；当时，最大值为正无穷大，即在区间上不恒成立，同理记，利用导数研究其单调变化规律，确定其最小值：由于，所以在区间上单调递增，其最小值为，得.

试题解析：（1），

记，

依题意，在区间上有且只有一个零点，

∴，得实数的取值范围是；………………………………5分

（Ⅱ）若函数是函数，在区间上的一个“分界函数”，

则当时，恒成立，

且恒成立，…………………………………………6分

记，

则，

若，即：

当时，，单调递减，且，

∴，解得；…………………………………………8分

若，即：

的图象是开口向上的抛物线，

存在，使得，

从而，在区间上不会恒成立，…………………10分

记，

则，

∴在区间上单调递增，

由恒成立，得，得.

综上，当时，函数是函数，在区间上的一个“分界函数”. 13分

考点：利用导数研究函数极值，利用导数研究不等式恒成立

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.