Question

已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）作差，证明单调递减即可得证；（2）将递推公式变形，，再求和，即可得证；（2）对作出适当放缩，再求和，即可得证..

试题解析：（1）由及知，故，

∴，；（2）由，得，从而

，

又∵，∴，；（3）由（2）知，，由，得，∴当时，，

由此，

又∵，∴，另一方面，由，得，

综上，.

考点：数列与不等式综合.

【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2.重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3.数学归纳法.