Question

某地拟建一座长为640米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中）．中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元．

（1）试将桥的总造价表示为的函数；

（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩除外）应建多少个桥墩？

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件直接建立等量关系式求解；(2)借助题设运用导数的知识求解.

试题解析：

（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价，

即．

（2）由（1）可求，整理得，

由，解得（舍），

又当时，；当时，，

所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为个．

考点：幂函数的导数及导数在研究函数的单调性及最值等方面的有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的建造桥梁的问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用桥墩与造价的关系直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助导数知识研究出函数的单调性,从而求出时，桥的总造价最低，使得问题最终获解.