Question

已知函数（为实数）．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满

足，求的取值范围；

（3）已知，求证：．

Answer

(1)；(2)；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设运用分类整合思想及导数的知识求解；(3)依据题设运用导数和对数函数的性质及运算法则推证.

（1）当时，，则，

∴函数的图象在点处的切线方程为：，即；

（2）【解析】
，由，

由于函数在区间上不存在极值，所以，

由于存在满足，所以，对于函数，对称轴，

①当，即时，，

由，结合或可得：；

②当，即时，，

由，结合可知：不存在；

③当，即时，；

由，结合可知：，综上可知，的取值范围是．

（3）证明：当时，，

当时，，单调递增；

当时，单调递减，

∴在处取得最大值，

即，∴，令，则，即，

∴

，

故．

考点：对数函数的性质及运算法则及导数的知识等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数几何意义求出切线方程使得问题获解；第二问则利用题设中的不等式恒成立运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围是；第三问运用导数知识及对数函数的知识进行推证,从而使得问题简捷巧妙获解.