Question

已知函数，，.

（1）证明：当时，；

（2）证明：当时，存在，使得对任意的，恒有.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）构造函数，利用导数求得函数在上单调递减，故当时，，即当时；（2）构造函数，，对分成两类，讨论的单调区间，得到存在，使得对任意的，恒有.

试题解析：

（1）令，，则有

当时，，所以在上单调递减，

故当时，，即当时.

（2）令，，

则有

当时，，故在单调递增，，

故对任意正实数均满足题意

当时，令，得，取，对任意，有，从而在单调递增，所以，即.

综上，当时，总存在，使得对任意，恒有.

考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】本题主要考查构造函数法证明不等式，考查含参数问题分类讨论的数学思想方法.第一问要证明，我们只需构造函数，注意到，只需利用导数，证明函数是单调递减的即可.第二问同样构造函数，由于函数的导数含有参数，所以要对参数进行分类讨论.