Question

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图.

（1）求；

（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；

（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer

（1）；（2）从第2年开始获利；（3）这种设备使用5年时，年平均利润最大.

【解析】

试题分析：本题主要考查函数与数列，数列是特殊的函数，数列的定义域是正整数集或它的有限子集，根据题意分析可知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：；（2）根据函数的实际应用，利益=收入-成本，纯收入函数与年数之间的关系满足，问题转化为，即， 解得，又因为n,所以2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利；（3）年平均收入为当且仅当时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大.

试题解析：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

（2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则：

由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得

又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利

（3）年平均收入为=20-

当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大.

考点：1、等差数列通项公式；2、一元二次不等式；3、均值定理.