Question

小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条。假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．

（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；

（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元／天（只要围巾没有售完，均须支付200元／天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润＝总毛利润－总管理、仓储等费用）？

Answer

（1），围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）定价为25元

【解析】

试题分析：（1）根据题意先求出销售量t与售价x之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y（元）关于售价x（元）（x∈Z+）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值

试题解析：设t＝kx＋b，∴，解得k＝－2，b＝70，∴t＝70－2x． …3分

（1）

当时，即围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． …8分

（2） 设售价x（元）时总利润为z（元），

∴

令，则，

∵在上递减，在上递增，

∴当，即时，取最大值10000元．

故小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高． …15分

考点：函数模型的选择与应用