Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？

Answer

(1) y＝－2x2＋(a＋2)x(0＜x≤2);(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)可以用减法，整个矩形的面积-4个直角三角形的面积得到阴影面积，根据矩形边长求函数定义域，、；（2）函数配方后可得，讨论对称轴和定义域端点值2的关系，定义域若包含对称轴，那顶点最大，若定义域不包含对称轴，那离对称轴近函数值大，分情况得到函数的最大值.

试题解析：(1)由题意可知，S△AEH＝S△CGF＝，S△DHG＝S△BEF＝(a－x)(2－x)，

所以y＝－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x.

故函数解析式为y＝－2x2＋(a＋2)x(0＜x≤2)．

(2)因为y＝－2x2＋(a＋2)x (0＜x≤2)，

当，即a＜6时，则时，y取最大值，

当，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在x∈(0,2]上是增函数，

则x＝2时，y取最大值2a－4.

综上所述：当a＜6时，AE＝时，绿地面积取最大值；

当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.

考点：函数的实际应用