Question

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer

（1）每件定价最多为元；（2）当该商品明年的销售量至少达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为元．

【解析】

试题分析：（1）设每件定价为元，依题意，得，解不等式即可求解结论；（2）依题意时，不等式有解，等价于时，得到有解，利用基本不等式，即可得到结论．

试题解析：（1）设每件定价为元，

依题意，有，

整理得，解得，

∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

（2）依题意，当时，不等式有解，

即时，不等式有解．

∵（当且仅当时，等号成立），∴．

∴当该商品明年的销售量至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为30元．

考点：函数的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，基本不等式求最值，不等式恒成立问题的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解得中认真、仔细审题，建立函数模型，同时注意变量取值的实际意义是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．