Question

已知数列，满足：，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）当时，恒成立．

【解析】

试题分析：（1）由，化简得，得到数列是以为首项，为公差的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，，得，从而，即可求解，得到，转化为恒成立，即可满足不等式恒成立，利用二次函数的性质，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）∵，

∴，

∵，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴．

（2）由（1）知，，∴，

从而，

，

∴，

由题意可知恒成立，即可满足不等式恒成立，

设，

当时，恒成立，

当时，由的判别式，

再结合二次函数的性质不可能成立；

当时，对称轴，在上为单调递减函数，

∵，

∴时，恒成立．

综上知：当时，恒成立．

考点：数列的综合问题．

【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等差数列数列的通项公式、数列的求和，一元二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中正确求解数列的前的和，转化为一元二次函数的图形与性质是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题．