Question

已知数列，，其前项和满足，其中．

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）设，为数列的前项和，求证：；

（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）当时，得到，当时，，即可化简，即可证得结论；（2）由（1）可得，利用乘公比错误相减法，即可求解数列的和；（3）由得，整理得，当为奇数时，，∴；当为偶数时，，∴，由为非零整数，即可求解．

试题解析：（1）当时，，∴，

当时，，

∴，即，∴（常数），

又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，∴．

（2），

∴，

，

相减得，

∴．

（3）由，得，

，

，，

当为奇数时，，∴；

当为偶数时，，∴，

∴，又为非零整数，∴．

考点：数列的通项公式；数列的求和．

【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中涉及到等差数列的概念，数列的乘公比错误相减法求和，不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据数列的递推关系，熟练应用等差数列的性质和准确计算是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．