Question

如图，在直三棱柱中，，，是的中点.

⑴求证：；

⑵求二面角的余弦值；

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，交于点，连接，根据直四棱柱的性质，得到，利用线面平行的判定定理，即可证得；（2）由是直棱柱，且，故、、两两垂直，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，求解两个向量所成的角，即可求解二面角的余弦值.

试题解析：⑴证明：连接，交于点，连接.

由是直三棱柱得四边形为矩形，的中点.

又为中点，所以为中位线，所以，

所以，，所以.

⑵由是直棱柱，且，故、、两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，.

所以，.

设平面的法向量为，则有 所以

取，得.

易知平面法向量为.

由二面角平面角是锐角，得.

所以二面角的余弦值为.

考点：直线与平面平行的判定；二面角的求解.